ІІ етап Всеукраїнської студентської олімпіади з «Математики» 2016/2017

Контактна інформація

Сумський державний університет
Україна, м. Суми,
вул. Римського-Корсакова, 2,
Корпус Н;
каб.: Н-202, Н-205

Тел.: +38 (0542) 68-77-58
E-mail: info@maimo.sumdu.edu.ua
maimo.sumdu.edu.ua@gmail.com

Математичний калейдоскоп

Наші партнери

Питання до атестації

Основные вопросы на экзамен по курсу "Высшая математика"

(заочники, 2 курс, 3 семестр)

 

1. Кратні інтеграли. Подвійний інтеграл. Основніпоняття. Геометричний і фізичний зміст. Властивості.

2. Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах. Обчислення в полярних координатах.

3. Застосування подвійного інтеграла.

4. Потрійний інтеграл. Основні поняття. Обчислення потрійного інтеграла в декартових координатах.

5. Заміна змінної в потрійному інтегралі. Обчислення потрійного інтеграла в циліндричних і сферичних координатах.

6. Застосування потрійного інтеграла.

7. Криволінійний інтеграл. Криволінійний інтеграл І-го роду. Обчислення. Застосування.

8. Криволінійний інтеграл ІІ-го роду. Обчислення.

9. Формула Остроградського-Гріна. Умова незалежності криволінійного інтеграла ІІ-го роду від шляху інтегрування.

10.  Поверхневі інтеграли. Поверхневий інтеграл І-го - роду. Основні поняття. Обчислення. Застосування.

11. Поверхневий інтеграл ІІ-го роду. Обчислення. Застосування.

12.  Елементи теорії поля. Види поля. Течія. Формула  Остроградського-Гаусса. Циркуляція. Формула Стокса. Формула Гріна.

 

Дополнительные вопросы (группы ГМз, ТМз, МВз, ХКз, ЕМз, ХМз)

1. Алгебра событий. Сума. произведение событий. Зависимые события. Условная вероятность.

2. Полная вероятность. Вероятность гипотез. Формула Байеса.

3. Повторные испытания. Формула Бернулли.Локальная теорема Муавра-Лапласа.

4. Случайные величины. Дискретные случайные величины. Математическое ожидание,

дисперсия и среднеквадратическое отклонение дискретных случайных величин.

5. Законы распределения дискретных случайных величин : равномерный, биномиальный, Пуассона.

6. Непрерывные случайные величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения

непрерывных случайных величин. 

7. Элементы математической статистики. Генеральная совокупность, выборка и способы ее организации.

Вариационный ряд. Полигон и гистограмма.

8. Точечные оценки параметров.

 

Дополнительные вопросы (группы ЕТз, ИТз, СУз)

1. Операционное исчисление. Преобразование Лапласа.

2. Свойства преобразований Лапласа.

3. Оригинал и изображения.

 


 

Теоретичні питання до атестації з математичного аналізу (гр. КМ-51)

1 модуль

1.       Як описати поняття множини? Навести приклади. Множини натуральних чисел, цілих невід’ємних чисел, цілих чисел, дійсних чисел. Дії над множинами.

2.       Які множини називаються числовими проміжками? Що називається  Ɛ- околом точки х?

3.       Що називається  модулем дійсного числа?  Властивості модуля. Який геометричний зміст модуля?

4.       Що називається функцією? Область визначення та множина значень функції. Способи задання функції.

5.        Основні елементарні функції. Графіки.

6.       Яка функція називається елементарною? Як класифікують елементарні функції?

7.       Монотонні, парні, непарні функції. Періодичні функції, основний період.

8.       Обернена функція. Умова існування оберненої функції.

9.       Неявно задана функція, параметрична функція.

10.   Числова послідовність. Означення, приклади.

11.   Границя числової послідовності. Геометричний зміст границі числової послідовності.

12.   Довести, що коли числова послідовність має границю, то ця границя лише одна.

13.   Дати означення границі функції за Коші і за Гейне.

14.   Геометричний зміст границі функції в точці.

15.   Ліва та права границі функції в точці.

16.   Що називається нескінченно великою функцією?

17.   Що називається нескінченно малою величиною? Сформулювати властивості нескінченно малих.

18.   Сформулювати і довести теореми про границю суми, добутку і частки двох функцій, границю проміжної функції, граничний перехід у нерівностях.

19.   Перша та друга важливі границі.

20.   Як порівнюють між собою нескінченно малі величини? Які нескінченно малі величини називають еквівалентними? Таблиця еквівалентності.

21.   Дати означення неперервності функції в точці.

22.   Види розривів. Приклади.

23.   Яка функція називається неперервною на проміжку? Сформулювати теореми про властивості функцій, неперервних на відрізку. Геометричний зміст цих теорем.

24.   Означення похідної функції. Геометричний та фізичний зміст похідної.

25.   Вивести правила диференціювання суми, різниці, добутку і частки двох функцій.

26.   Таблиця похідних основних елементарних функцій.

27.   Диференціювання параметрично заданих функцій, неявних функцій.

28.   В чому полягає логарифмічне диференціювання? Приклад.

29.   Диференціал функції. Геометричний зміст диференціала. Інваріантність форми диференціалу першого порядку.

30.   Правила диференціювання та обчислення диференціалів основних елементарних функцій.

31.   Похідні та диференціали вищих порядків. Формула Лейбніца.

32.   Основні теореми диференціального числення. Геометричний зміст цих теорем.

33.   Застосування диференціального числення для дослідження функцій:

-          монотонність функції, достатні умови строгої монотонності, необхідна умова зростання;

-          локальний екстремум функції, необхідна та достатні умови локального екстремуму;

-          опуклість і вгнутість кривих, точки перегину;

-          асимптоти кривої;

-          схема повного дослідження функції та побудова її графіка.

Практичні завдання  за темами:

- границя функції;

- дослідження функції на неперервність, точки розриву;

- обчислення похідних першого та вищих порядків.

 

 

 


 

Основные вопросы на экзамен по курсу "Высшая математика"

(заочники, 1 курс, 2 семестр)

 

1.Функція двох змінних. Область визначення. Похідні функції двох змінних. Частинні похідні. Частинні похідні вищих порядків. Повний диференціал. Застосування до наближених  обчислень. Похідна складної функції. Екстремум функції двох змінних.

2. Інтегральне числення. Невизначений інтеграл. Первісна. Властивості невизначеного інтеграла. Таблиця інтегралів. Основні методи інтегрування. Метод підстановки. Інтегрування частинами.

3. Інтегрування раціональних функцій. Інтегрування ірраціональних функцій. Інтегрування тригонометричних функцій.

4. Визначений інтеграл. Властивості. Обчислення. Формула Ньютона-Лейбніца. Заміна змінної у визначеному інтегралі. Геометричне застосування визначеного інтеграла. Обчислення площ фігур. Обчислення довжини дуги кривої. Обчислення об‘єму тіл обертання.

5. Диференціальні рівняння. Основні поняття. Диференціальні рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння з відокремленими, відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні. Задача Коші.

6. Диференціальні рівняння вищих порядків. Диференціальні рівняння другого порядку, що допускають пониження порядку.

7. Лінійні однорідні рівняння вищих порядків. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння вищих порядків. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами зі спеціальною правою частиною. Системи диференціальних рівнянь.

8. Ряди. Числові ряди. Основні поняття. Ряд геометричної прогресії. Гармонічний ряд. Необхідна ознака збіжності.

9. Достатні ознаки збіжності знакододатних рядів. Знакозмінні ряди. Ознака Лейбниця. Абсолютна і умовна збіжність числових рядів.

10. Функціональні ряди. Область збіжності.Степеневі ряди. Теорема Абеля. Інтервал збіжності і радіус збіжності степеневого ряду. Ряд Тейлора і Маклорена.

11. Розклад функцій в степеневі ряди. Застосування рядів до наближених обчислень інтегралів та розв‘язання диференціальних рівнянь.

12. Тригонометричний ряд Фур‘є. Розклад функцій в ряд Фур‘є переодичних функцій, функцій довільного періода, парних і непарних функцій.


 

Основные вопросы на экзамен по курсу "Высшая математика"

(заочники, 1 курс, 1 семестр)


1. Элементы линейной алгебры. Основные понятия. Действия над матрицами, Ранг матрицы. Определители. Свойства определителей.

2.Cистемы линейных алгебраических  уравнений. Основные понятия. Теорема Кронекера-Капелли. Методы решения ситем линейных алгебраических уравнений. Системы однородных уравнений

3. Элементы векторной алгебры. Векторы. Основные понятия. Базис. Линейные операции над векторами. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

4. Аналитическая геометрия на плоскости. Линии на плоскости. Уравнения прямой на плоскости. Основные задачи на прямую на плоскости. Линии 2-го порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

5. Аналитическая геометрия в пространстве. Уравнения прямой и плоскости в пространстве.  Поверхности и линии в пространстве.

6. Функции. Основные понятия и определения. Основные элементарные функции. Способы задания функций, явные и неявные функции. 

7. Граница функции в точке, граница функции на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины.  Основные теоремы о границах. 1-й и 2-й замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции.
Непрерывность функции.

8. Определение производной функции. Геометрический и физический смысл производной. Основные правила дифференцирования, таблица производных основных элементарных функций.

9. Производные высших порядков. Дифференциал функции. Основные теоремы, геометрический смысл. Применение дифференциала для приближенных вычислений.

10. Исследование функций  с помощью производной. Возрастание и убывание функции, монотонность функции. Экстремум, необходимое и достаточное условия экстремума. Критические точки.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость функции, точки перегиба. Асимптоты. Схема исследования и построения графика функции.

 


 

 

 

Питання до атестації з матемачного аналізу

(9 модуль)

1. Поняття степеневого ряду. Інтервал та радіус збіжності степеневого ряду.

2. Властивості степеневого ряду.

3. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

4. Наближені обчислення за допомогою степеневих рядів:

- наближені обчислення значень функцій;

- наближене обчислення визначених інтегралів;

- наближене інтегрування ДР.

5. Обчислення суми ряда почленним інтегруванням.

6. Обчислення суми ряда почленним диференціюванням.

7. Тригонометричний ряд Фур'є. Коефіцієнти Фур'є.

8. Ряд Фур'є для парних і непарних функцій.

9. Ряд Фур'є для 2L-періодичних функцій.

10. Комплексна форма ряду Фур'є.

Типові задачі 

 

Питання до атестації з математичного аналізу

(8 модуль)

1. Числові ряди. Основні поняття та означення.

2. Геометрична прогресія, гармонічний ряд.

3. Властивості числових рядів.

4. Знакододатні ряди. Необхідна ознака збіжності.

5. Достатні ознаки збіжності знакододатніх рядів.

6. Ряди, в яких знаки членів строго чергуються. Ознака Лейбніца.

7. Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжності.

8. Функціональні ряди. Поняття рівномірної збіжності. Ознака Вейєрштрасса.

9. Поняття степеневого ряду. Теорема Абеля. Інтервал та радіус збіжності степеневого ряду.

 

Питання до атестації з математичного аналізу

(7 модуль)

 

1. Поверхневі інтеграли 1-го роду (по площі поверхні). Задача про визначення маси неоднорідної оболонки.

2. Формулювання теореми про існування поверхневого інтеграла по площі поверхні. Дві основні властивості поверхневого інтеграла по площі поверхні.

3. Поверхневий інтеграл 2-го роду (по координатах). Задача про обчислення потоку рідини через поверхню. Дві основні властивості поверхневого інтеграла по координатах.

4. Обчислення поверхневого інтеграла по координатах. Спрощенні формули зведення поверхневого інтеграла по координатах до подвійного.

5. Обчислення поверхневого інтеграла 1-го роду, застосування до задач геометрії, фізики.

6. Скалярне поле. Лінії і поверхні рівня, похідна за напрямом, градієнт. 

7. Векторне поле, векторні лінії, циркуляція векторного поля.

8. Дивергенція векторного поля. Формулювання теореми Остроградського-Гаусса. 

9. Теорема Стокса.

10. Потенційне векторне поле і його властивість. 

11. Соленоїдальне векторне поле і його властивість.

12. Гармонійне векторне поле і його властивість.

13. Диференціальний оператор "набла".

 

Питання до атестації з математичного аналізу

(6 модуль)

1. Криволінійні інтеграли:

- задача про визначення маси неоднорідної матеріальної лінії;

 - задача про роботу змінної сили при русі точки по кривій;

- означення криволінійниї\х інтегралів першого та другого роду

- формули обчислення криволінійних інтегралав першого та другого роду;

- формула Гріна, умови незалежності криволінійного інтегралу від шляху інтегрування;

- застосування криволінійного інтеграла.

2. Кратні інтеграли:

- полярна, декартова, циліндрична та сферичні системи координат;

- означення подвійного та потрійного інтегралів;

- обчислення кратних інтегралів в різних системах координат, якобіан перехода;

- застосування кратних інтегралів.

 

 

Питання до атестації з математичного аналізу

(5 модуль)

1. Функція багатьох змінних. Поняття області визначення, геометричне зображення ФБЗ.
2. Границя ФБЗ. Неперервність ФБЗ.
3.Частинні похідні та диференціали ФБЗ першого порядку. Похідна від суперпозиції ФБЗ.
4. Деякі застосування частинних похідних ФБЗ. Дотична площина і нормаль до поверхні. Похідна за напрямом, градієнт.
5. Похідні від функцій, заданих неявно.
6.Частинні похідні і диференціали вищих порядків.
7. Формула Тейлора для функції двох змінних.
8. Екстремум ФБЗ. Необхідна умова існування екстремуму. Достатня ознака існування екстремуму.
9. Умовний еккстремум.
10. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області.
11. Кратні інтеграли. Задача про об'єм криволінійного циліндра.
12. Задача про визначення маси неоднорідного тіла.
13. Властивості подвійного інтеграла.
14. Обчислення подвійних інтегралів.
15. Заміна змінних в кратних інтегралах. Якобіан.
16. Полярна системи координит. Перехід від декартової системи координат до полярної.
17. Деякі важливі криві та поверхні другого порядку. Графіки та канонічні рівняння.

 

Питання до атестації з математичного аналізу

(4 модуль)

Частина 1.

1. Невласні інтеграли з нескінченими межами інтегрування (1 роду).
2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (2 роду).

Частина 2.

1. Схеми застосування визначеного інтеграла.
2. Геометричні застосування визначеного інтеграла
(виведення формул із застосуванням методу інтегральних сум (схема 1) та методу діференціалів (схема 2):
2.1. Визначення площі криволінейної області.
2.2. Площа криволінійного сектора.
2.3. Обчислення довжини дуги.
2.4. Обчислення об'ємів тіл по відомим площам паралельних перерізів.
2.5. Об'єм тіл обертання.
2.6. Обчислення площі поверхні обертання.
3. Фізичні застосування визначеного інтеграла
(виведення формул із застосуванням методу інтегральних сум (схема 1) та методу діференціалів (схема 2):
3.1. Центр ваги кривої.
3.2. Статичні моменти плоскої кривої.
3.3. Моменти інерції дуги кривої.
3.4. Робота змінної сили.
3.5. Робота з подолання сили тяжіння.
3.6. Сила тиску на плоску пластину.